Question

1．如圖，已知動直線l交圓（x-3）²+y²=9于坐標(biāo)原點O和點A，交直線x=6于點B；
（1）若|OB|=3$\sqrt{5}$，求點A、點B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)動點M滿足$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{AB}$，其軌跡為曲線C，求曲線C的方程F（x，y）=0；
（3）請指出曲線C的對稱性、頂點和圖形范圍，并說明理由；
（4）判斷曲線C是否存在漸近線，若存在，請直接寫出漸近線方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意求出B的縱坐標(biāo)，得到直線OA的方程，與圓的方程聯(lián)立求點A、點B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)出OA所在直線方程，與圓的方程聯(lián)立求出A的坐標(biāo)，再求出B的坐標(biāo)，然后利用向量相等得到關(guān)于M的參數(shù)方程，消去參數(shù)后得答案；
（3）取y為-y，曲線方程不變，可得曲線C關(guān)于x軸對稱，再由y²≥0求得范圍；
（4）直接由x→6，$\frac{{x}^{3}}{6-x}$→+∞得到曲線的漸近線方程．

解答 解：（1）由已知可得B點的橫坐標(biāo)為6，則縱坐標(biāo)為$±\sqrt{（3\sqrt{5}）^{2}-{6}^{2}}$=±3，
設(shè)直線l為y=kx，把B點坐標(biāo)代入得k=$±\frac{1}{2}$則$y=±\frac{1}{2}x$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{（x-3）^{2}+{y}^{2}=9}\\{y=±\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{24}{5}}\\{y=±\frac{12}{5}}\end{array}\right.$．
∴A（$\frac{24}{5}$，$±\frac{12}{5}$），B（6，±3）；
（2）設(shè)OA所在直線方程為y=kx，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{（x-3）^{2}+{y}^{2}=9}\end{array}\right.$，得${x}_{A}=\frac{6}{{k}^{2}+1}，{y}_{A}=\frac{6k}{{k}^{2}+1}$，
又x_B=6，y_B=6k，
∴$\overrightarrow{AB}=（\frac{6{k}^{2}}{{k}^{2}+1}，\frac{6{k}^{3}}{{k}^{2}+1}）$，
設(shè)M（x，y），則$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{6{k}^{2}}{{k}^{2}+1}}\\{y=\frac{6{k}^{3}}{{k}^{2}+1}}\end{array}\right.$，消去k得：${y^2}=\frac{x^3}{6-x}$；
（3）取y為-y，曲線方程不變，∴曲線C關(guān)于x軸對稱；
由$\frac{{x}^{3}}{6-x}≥0$，解得：0≤x＜6，
∴曲線C的頂點為（0，0）；圖形范圍滿足x∈[0，6）；
（4）當(dāng)0≤x＜6時，若x→6，則$\frac{{x}^{3}}{6-x}$→+∞，
∴曲線C的漸近線方程為x=6．

點評 本題考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了曲線參數(shù)方程的求法，訓(xùn)練了極限思想方法的應(yīng)用，是中檔題．