Question

已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足：lna₁+lna₃=4，lna₄+lna₆=10．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記S_n=lna₁+lna₂+…+lna_n，數(shù)列{b_n}滿足b_n=

1

2Sn

，若存在n∈N，使不等式K＜（b₁+b₂+…+b_n）（

2

3

）ⁿ 成立，求實(shí)數(shù)K的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得a₁a₃=e⁴，a₄a₆=e¹⁰，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知S_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，b_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足：lna₁+lna₂=4，lna₄+lna₅=10，
∴a₁a₃=e⁴，a₄a₆=e¹⁰，
∴q⁶=e⁶，由q＞0，解得q=e，a₁=e，
∴a_n=eⁿ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知S_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
b_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴b₁+b₂+…+b_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
設(shè)c_n=（b₁+b₂+…+b_n）（

2

3

）ⁿ，
∴cn=

n

n+1

(

2

3

)ⁿ，
c_n+1-c_n=

n+1

n+2

（

2

3

）ⁿ⁺¹-

n

n+1

（

2

3

）ⁿ
=

-n2-2n+2

3(n+1)(n+2)

•(

2

3

)n＜0，
∴c_n＞c_n+1，
∴數(shù)列{c_n}單調(diào)遞減，
（c_n）_max=c₂=

1

3

，
∴k＜

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．