Question

已知函數(shù)G（x）=ln（1+x）-x，在x∈（0，+∞）時，G（x）的單調(diào)遞減，且在x∈（0，+∞）時，恒有l(wèi)n（1+x）＜x．
（1）若在x∈（0，n]，n∈N^*，G（x）_min=G（b_n）的條件下，不等式恒成立，求c的取值范圍．
（2）在（1）的條件下，請證明對任意n∈N^*，不等式恒成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)x∈（0，n]，G（x）單減，可得，不等式恒成立，分離參數(shù)可得，求出的最大值，可得c的取值范圍；
（2）對任意n∈N^*，b_n=n，且ln（1+x）＜x，再利用放縮法，即可證得結(jié)論．
解答：（1）解：因為x∈（0，n]，函數(shù)G（x）=ln（1+x）-x單調(diào)遞減，
所以G（x）_min=G（b_n）=G（n），從而
不等式恒成立，即成立
即，
∴當n=1時，取得最大值為2．
故c≥2．    …（6分）
（2）證明：由（1）知，對任意n∈N^*，b_n=n，且ln（1+x）＜x
∴＜
=，
故得證．…（12分）
點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查恒成立問題，考查放縮法的運用，解題的關(guān)鍵是分離參數(shù)，確定函數(shù)的最值．