Question

（本小題滿分15分）如圖，已知拋物線：，過(guò)焦點(diǎn)斜率大于零的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，且與其準(zhǔn)線交于點(diǎn)．

（Ⅰ）若線段的長(zhǎng)為，求直線的方程；

（Ⅱ）在上是否存在點(diǎn)，使得對(duì)任意直線，直線，，的斜率始終成等差數(shù)列，若存在求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

（1）；（2）存在點(diǎn)或．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)出直線的方程，與拋物線方程進(jìn)行聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解；（2）假設(shè)存在，利用等差中項(xiàng)和恒成立判定是否有解.

試題解析：（Ⅰ）焦點(diǎn)

∵直線的斜率不為，所以設(shè)，

，

由得，

，，

，

，

∴， ∴． ∴直線的斜率，

∵，∴，

∴直線的方程為．

（Ⅱ）設(shè)，

，

同理，，

∵直線，，的斜率始終成等差數(shù)列，

∴恒成立，

即恒成立． ∴，

把，代入上式，得恒成立，．

∴存在點(diǎn)或，使得對(duì)任意直線，

直線，，的斜率始終成等差數(shù)列．

考點(diǎn)：1.直線與拋物線的位置關(guān)系；2.等差中項(xiàng).