Question

用數(shù)學(xué)歸納法說明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n-1

＜n(n＞1)，在第二步證明從n=k到n=k+1成立時，左邊增加的項數(shù)是

2^k

項．

Answer 1

分析：當(dāng)n=k成立，

1

2

+

1

3

+…+

1

2k-1

＜k，當(dāng)n=k+1時，寫出對應(yīng)的關(guān)系式，觀察計算即可．

解答：解：在用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n-1

＜n(n＞1)，在第二步證明時，
假設(shè)n=k時成立，即

1

2

+

1

3

+…+

1

2k-1

＜k，
則n=k+1成立時，有

1

2

+

1

3

+…+

1

2k-1

+

1

2k

+…+

1

2k+2k-1

＜k+1，
∴左邊增加的項數(shù)是（2^k+2^k-1）-（2^k-1）=2^k．
故答案為：2^k．

點評：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查n=k到n=k+1成立時左邊項數(shù)的變化情況，考查理解與應(yīng)用的能力，屬于中檔題．