Question

5．已知函數(shù)$f（x）=2{cos^2}x-2\sqrt{3}sinxcosx$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-m=1在$[{-\frac{5π}{12}，0}]$上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得：f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，利用周期公式可求最小正周期，由$2kπ-π≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ，（k∈Z）$，即可解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由$x∈[-\frac{5π}{12}，0]$，可求$cos（2x+\frac{π}{3}）∈[0，1]$，函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇1，3]，由f（x）有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)解，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：f（x）∈[2，3），而f（x）=m+1，從而可得2≤m+1＜3，即可解得m的取值范圍．

解答 解：（1）∵$f（x）=2{cos^2}x-2\sqrt{3}sinxcosx=2•\frac{1+cos2x}{2}-\sqrt{3}sin2x$=$1+cos2x-\sqrt{3}sin2x=2cos（2x+\frac{π}{3}）+1$，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
由$2kπ-π≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ，（k∈Z）$，解得，$kπ-\frac{2π}{3}≤x≤kπ-\frac{π}{6}，（k∈Z）$．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：$[kπ-\frac{2π}{3}，kπ-\frac{π}{6}]，（k∈Z）$．
（2）∵$x∈[-\frac{5π}{12}，0]$，
∴$2x+\frac{π}{3}∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{3}]$，
∴$cos（2x+\frac{π}{3}）∈[0，1]$，
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇1，3]，
而方程f（x）-m=1，變形為f（x）=m+1，
∵f（x）有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)解，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：f（x）∈[2，3），
∴2≤m+1＜3，即1≤m＜2，
∴m∈[1，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，周期公式，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，不等式的解法及應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．