Question

10．如圖，直線y=kx與函數(shù)y=lnx相切于點P（m，n），則函數(shù)f（x）=lnx-kx在x=e處，取得極大值，為0．

Answer 1

分析 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出k的值，在求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值的關(guān)系即可求出．

解答 解：直線y=kx與函數(shù)y=lnx相切于點P（m，n），
∴y′=$\frac{1}{x}$，
∴k=$\frac{1}{m}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{km=1}\\{km=n}\\{lnm=n}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{e}}\\{m=e}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴f（x）=lnx-$\frac{1}{e}$x，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{e}$，
令f′（x）=0，解得x=e，
當(dāng)f′（x）＞0時，即0＜x＜e，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0時，即x＞e，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=e時，函數(shù)f（x）有最大值．最大值為f（e）=lne-1=0，
故答案為：e，大，0．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)和極值的關(guān)系，屬于中檔題．