Question

在一種智力有獎(jiǎng)競(jìng)猜游戲中，每個(gè)參加者可以回答兩個(gè)問(wèn)題（題1和題2），且對(duì)兩個(gè)問(wèn)題可以按自己選擇的順序進(jìn)行作答，但是只有答對(duì)了第一個(gè)問(wèn)題之后才能回答第二個(gè)問(wèn)題．假設(shè)：答對(duì)題i（i=1，2），就得到獎(jiǎng)金a_i元，且答對(duì)題i的概率為
P_i（i=1，2），并且兩次作答不會(huì)相互影響．
（I）當(dāng)a₁=200元，P₁=0.6，a₂=100元，P₂=0.8時(shí)，某人選擇先回答題1，設(shè)獲得獎(jiǎng)金為ξ，求ξ的分布列和Eξ；
（II）若a₁=2a₂，P₁+P₂=1，試問(wèn)：選擇先回答哪個(gè)問(wèn)題時(shí)可能得到的獎(jiǎng)金更多？

Answer 1

分析：（I）根據(jù)當(dāng)a₁=200元，P₁=0.6，a₂=100元，P₂=0.8時(shí)，得到對(duì)應(yīng)的變量的概率，寫(xiě)出分布列．
（II）選擇先回答題1，得到的獎(jiǎng)金為ξ；選擇先回答題2，得到的獎(jiǎng)金為η，表示出這兩個(gè)變量的期望，把兩個(gè)期望值進(jìn)行比較，討論在概率取值不同的情況下，對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)金情況．

解答：解：（I）根據(jù)所給的條件得到分布列：

ξ	0	200	300
P	0.4	0.12	0.48

…（3分）
∴Eξ=0×0.4+200×0.12+300×0.48=168…（5分）
（II）設(shè)選擇先回答題1，得到的獎(jiǎng)金為ξ；選擇先回答題2，得到的獎(jiǎng)金為η
則有Eξ=a₁p₁（1-p₂）+（a₁+a₂）p₁p₂
Eη=a₂p₂（1-p₁）+（a₁+a₂）p₁p₂…（8分）
根據(jù)題意可知：
Eξ-Eη=a₁p₁（1-p₂）+（a₁+a₂）p₁p₂-a₂p₂（1-p₁）+（a₁+a₂）p₁p₂=a₁（p₁²+2p₁-1）
當(dāng)p₁²+2p₁-1=0時(shí)，p1=-1±

2

（負(fù)號(hào)舍去）…（10分）
∴當(dāng)

2

-1＜p1＜1時(shí)，p₁²+2p₁-1＞0，Eξ＞Eη，先答題1可能得到的獎(jiǎng)金更高；…（12分）
當(dāng)P1=

2

-1時(shí)，p₁²+2p₁-1=0，Eξ=Eη，先答題1或題2可能得到的獎(jiǎng)金一樣多；
當(dāng)0＜P₁＜

2

-1時(shí)，p₁²+2p₁-1＜0，Eξ＜Eη，先答題2可能得到的獎(jiǎng)金更多．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，本題解題的關(guān)鍵是看出變量對(duì)應(yīng)的概率和期望，利用做差方法進(jìn)行比較．