Question

已知函數(shù)h（x）=x²，φ（x）=2elnx（其中e為自然對(duì)數(shù)）
（1）求F（x）=h （x）-φ（x） 的極值．
（2）設(shè)G（x）=h（x）-φ′（x）•

a

2e

（常數(shù)a＞0），當(dāng)x＞1時(shí)，求函數(shù)G（x）的單調(diào)區(qū)間，并在極值存在處求極值．

Answer 1

分析：（1）先確定函數(shù)的定義域然后求出函數(shù)的導(dǎo)涵數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)極值的定義進(jìn)行判定極值即可．
（2）由題設(shè)條件知G（x）=x²+

2e

x

•

a

2e

=x²+

a

x

，故G′（x）=

2(x3- a 2 )

x2

．令G′（x）=0，得x=

3	a 2

，由此能求出F（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

解答：解：（1）∵F（x）=x²-2elnx（x＞0）
∴F′（x）=2x-2e•

1

x

=

2(x- e )(x+ e )

x

當(dāng)0＜x＜

e

時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，此時(shí)F（x）遞減，
當(dāng)x＞

e

時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，此時(shí)F（x）遞增
當(dāng)x=

e

時(shí)，F(xiàn)（x）取極小值為0      …（6分）
（2）可得G（x）=x²+

2e

x

•

a

2e

=x²+

a

x

，
G′（x）=2x-

a

x2

=

2(x3- a 2 )

x2

，…（9分）
當(dāng)0＜x＜

3	a 2

時(shí)，G（x）遞減，當(dāng)x＞

3	a 2

時(shí)，G（x）遞增．
由于x＞1，
若

3	a 2

≤1時(shí)，即0＜a≤2，G（x）在（1，+∞）遞增，無(wú)極值．
若

3	a 2

＞1時(shí)，即a＞2，G（x）在（1，

3	a 2

）遞減，在（

3	a 2

，+∞）遞增．
所以x=

3	a 2

處有極小值，極小值為

3

2

3	2a2

…（12分）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及函數(shù)單調(diào)區(qū)間等有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．