Question

7．一個(gè)多面體的直觀圖及三視圖如圖所示，M、N分別為A₁B，B₁C₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：MN∥平面A₁ACC₁；
（Ⅱ）求證：MN⊥平面A₁BC；
（Ⅲ）求二面角C-AB₁-C₁的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）分別連結(jié)AB₁與AC₁，推導(dǎo)出MN∥AC₁，由此能證明MN∥平面A₁ACC₁．
（Ⅱ）以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明MN⊥平面A₁BC．
（Ⅲ）分別求出平面AB₁C的法向量和平面AB₁C₁的法向量，利用向量法能求出二面角C-AB₁-C₁的大�。�

解答 證明：（Ⅰ）如圖，分別連結(jié)AB₁與AC₁，
∵M(jìn)、N分別為A₁B，B₁C₁的中點(diǎn)，∴MN∥AC₁，
∵M(jìn)N?平面A₁ACC₁，AC₁?平面A₁ACC₁，
∴MN∥平面A₁ACC₁．
（Ⅱ）以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則B₁（0，1，1），A（1，0，0），C₁（0，0，1），C（0，0，0），A₁（1，0，1），
M（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），N（0，$\frac{1}{2}$，1），
$\overrightarrow{MN}$=（-$\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（1，0，1），$\overrightarrow{CB}$=（0，1，0），
∴$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{C{A}_{1}}$=0，$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{CB}$=0，
∴MN⊥CA₁，MN⊥CB，
又CA₁∩CB=C，∴MN⊥平面A₁BC．
解：（Ⅲ）$\overrightarrow{CA}$=（1，0，0），$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（0，1，1），
設(shè)平面AB₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=y+z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，-1），
又$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-1，1，1），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-1，0，1），
設(shè)平面AB₁C₁的法向量為$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=-a+b+c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=-a+c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，0），
設(shè)二面角C-AB₁-C₁的大小為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}•\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，∴θ=$\frac{π}{3}$．
∴二面角C-AB₁-C₁的大小為$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行、線面垂直的證明，考查二面角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．