Question

（2012•濟(jì)南三模）已知α、β是三次函數(shù)f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+2bx（a，b∈R）的兩個(gè)極值點(diǎn)，且α∈（0，1），β∈（1，2），則

b-3

a-2

的取值范圍是（　�。�

• A．（-∞，

  2

  5

  ）
• B．（

  2

  5

  ，1）
• C．（1，+∞）
• D．（-∞，

  2

  5

  ）∪（1，+∞）

Answer 1

分析：因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值，則f'（x）=0有兩個(gè)不同的根，即△＞0，又f'（x）=x²+ax+2b，又α∈（0，1），β∈（1，2），所以

2b＞0 1+a+2b＜0 4+2a+2b＞0

．

b-3

a-2

的幾何意義是指動點(diǎn)P（a，b）到定點(diǎn)A（2，3）兩點(diǎn)斜率的取值范圍，做出可行域，能求出

b-3

a-2

的取值范圍．

解答：解：因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值，
則f'（x）=0有兩個(gè)不同的根，
即△＞0，
又f'（x）=x²+ax+2b，
又α∈（0，1），β∈（1，2），
所以有

f′(0)＞0 f′(1)＜0 f′(2)＞0

，
即

2b＞0 1+a+2b＜0 4+2a+2b＞0

．

b-3

a-2

的幾何意義是指動點(diǎn)P（a，b）到定點(diǎn)A（2，3）兩點(diǎn)斜率的取值范圍，
做出可行域如圖，
由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過AB時(shí)，斜率最小，
此時(shí)斜率為k=

1-3

-3-2

=

2

5

，
直線經(jīng)過AD時(shí)，斜率最大，
此時(shí)斜率為k=

0-3

-1-2

=1，
所以

2

5

＜

b-3

a-2

＜1．
故選B．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意可行域的合理運(yùn)用．