Question

12．如圖，已知四邊形BCD和BCEG均為直角梯形，AD∥EG、CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=$\frac{π}{2}$，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=2AD，CE=2BG．求證：
（Ⅰ）EC⊥CD；
（Ⅱ）求證：AG∥平面BDE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用面面垂直的性質，證明EC⊥平面ABCD，利用線面垂直的性質證明EC⊥CD；
（Ⅱ）在平面BCEG中，過G作GN⊥CE交BE于M，連DM，證明四邊形ADMG為平行四邊形，可得AG∥DM，即可證明AG∥平面BDE．

解答 證明：如圖示：
，
（Ⅰ）由平面ABCD⊥平面BCEG，
平面ABCD∩平面BCEG=BC，CE⊥BC，CE?平面BCEG，
∴EC⊥平面ABCD，又CD?平面BCDA，故 EC⊥CD；
（Ⅱ）在平面BCEG中，過G作GN⊥CE交BE于M，
連結DM，則由已知知；MG=MN，MN∥BC∥DA，且$MN=AD=\frac{1}{2}BC$，
∴MG∥AD，MG=AD，故四邊形ADMG為平行四邊形，
∴AG∥DM，
∵DM⊆平面BDE，AG?平面BDE，
∴AG∥平面BDE．

點評 本題考查面面垂直、線面平行，考查學生分析解決問題的能力，正確運用面面垂直、線面平行的判定定理是關鍵．