Question

4．在△ABC中，B=$\frac{π}{3}$，BC=2，點D、E分別在邊AB、AC上，AD=DC，DE⊥AC，且DE≥$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，則∠ACB的最大值為75°．

Answer 1

分析 先求出CD，在△BCD中，由正弦定理可得$\frac{BC}{sin∠BDC}$=$\frac{CD}{sin∠B}$，結(jié)合∠BDC=2∠A，即可得求出∠A的最小值，從而得出∠ACD的最大值．

解答 解：如圖所示，
△ABC中，B=$\frac{π}{3}$，BC=2，AD=DC，DE⊥AC，
∴∠DCE=∠A，
∠BDC=2∠A，
∴DC=AD=$\frac{DE}{sin∠A}$；
又$\frac{DC}{sin∠B}$=$\frac{BC}{sin∠BDC}$，
即$\frac{DE}{sin∠A•sin\frac{π}{3}}$=$\frac{2}{sin2∠A}$，
∴cos∠A=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{DE}$=$\frac{\sqrt{3}}{2DE}$，
又DE≥$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
∴cos∠A≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠A≥$\frac{π}{4}$；
∴∠ACB=π-∠B-∠A≤π-$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{12}$，
即∠ACB的最大值為$\frac{5π}{12}$．
故答案為：$\frac{5π}{12}$．

點評 本題考查了解三角形的應(yīng)用問題，也考查了三角函數(shù)最值的應(yīng)用問題，是綜合性題目．