Question

【題目】已知函數(shù)y=f（x）滿足f（x﹣1）=2x+3a，且f（a）=7．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若g（x）=xf（x）+λf（x）+x在[0，2]上最大值為2，求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x﹣1）=2x+3a=2（x﹣1）+3a+2，

則f（x）=2x+3a+2，

∵f（a）=7，

∴2a+3a+2=7，

解得a=1，

∴f（x）=2x+5

（2）解：g（x）=xf（x）+λf（x）+x=x（2x+5）+2λx+5λ=2x2+（6+2λ）x+5λ，

則其對(duì)稱軸為x=﹣ ，

當(dāng)﹣ ≤0時(shí)，即λ≥﹣3時(shí)，函數(shù)g（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，故g（x）max=g（2）=9λ+20，

當(dāng)﹣ ≥2時(shí)，即λ≤﹣7時(shí)，函數(shù)g（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，故g（x）max=g（0）=5λ，

當(dāng)0＜﹣ ≤1時(shí)，即﹣5≤λ＜﹣3時(shí)，g（x）max=g（2）=9λ+20，

當(dāng)1＜﹣ ＜2時(shí)，即﹣7＜λ＜﹣5時(shí)，g（x）max=g（0）=5λ，

故，當(dāng)λ≥﹣5時(shí)，g（x）max=g（2）=9λ+20=2，解得λ=﹣2，

當(dāng)λ＜﹣5時(shí)，g（x）max=g（0）=5λ=2，解的λ= ，舍去

綜上所述λ的值為﹣2

【解析】（1）根據(jù)配湊法即可求出函數(shù)的解析式，（2）化簡(jiǎn)g（x），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論即可求出λ的值，
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)的最值及其幾何意義對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（�。┲�；利用圖象求函數(shù)的最大（�。┲�；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值．