Question

已知各項(xiàng)均為正的數(shù)列{a_n}中，a₁=1，對(duì)任意的正整數(shù)n都有a²_n+1=a²_n-a²_na²_n+1
（Ⅰ）求證：數(shù)列{

1

a2n

}是等差數(shù)列，并求通項(xiàng)a_n
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}，b_n=

1

an

，數(shù)列{

1

bn+bn+1

}的前項(xiàng)n和為S_n，求證：S_n＜

n+1

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用遞推關(guān)系式經(jīng)過(guò)恒等變換求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）利用上步的結(jié)論求出新數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用裂項(xiàng)相消法求和，進(jìn)一步利用放縮法求出結(jié)果．

解答： 解：（Ⅰ）∵an+12=an2-an2an+12
∴an2-an+12=an2an+12
∴

1

an+12

-

1

an2

=1
∴數(shù)列{

1

an2

}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列      
∴

1

an2

=n
則：an=

1 n

                                       
證明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an=

1 n

，bn=

1

an

=

n

∴

1

bn+bn+1

=

1

n + n+1

=

n+1

-

n

                         
∴Sn=

2

-1+

3

-

2

+…+

n+1

-

n

=

n+1

-1＜

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：利用遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用，放縮法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型．