Question

已知曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ²-2

2

ρcos（θ+

π

4

）-2=0，直線l的參數(shù)方程為

x= 4 5 t y=1- 3 5 t

（t為參數(shù)）．
（1）化曲線C，直線l的方程為直角坐標(biāo)方程；
（2）求曲線C截直線l所得的弦長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）由曲線C的極坐標(biāo)方程：ρ²-2

2

ρcos（θ+

π

4

）-2=0，展開為ρ2-2

2

×

2

2

（ρcosθ-ρsinθ）-2=0，利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可化為直角坐標(biāo)方程，消去t即可得到直線l的方程；
（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心C到直線l的距離d，利用弦長(zhǎng)=2

r2-d2

即可得出．

解答： 解：（1）由曲線C的極坐標(biāo)方程：ρ²-2

2

ρcos（θ+

π

4

）-2=0，展開為ρ2-2

2

×

2

2

（ρcosθ-ρsinθ）-2=0，化為x²+y²-2x+2y-2=0，即（x-1）²+（y+1）²=4．
直線l的參數(shù)方程為

x= 4 5 t y=1- 3 5 t

（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得3x+4y-4=0．
（2）由（1）可得曲線C的圓心C（1，-1），半徑r=2．
∴圓心C到直線l的距離d=

|3-4-4|

32+42

=1．
∴曲線C截直線l所得的弦長(zhǎng)=2

r2-d2

=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)、直線參數(shù)方程、直線與圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、點(diǎn)到直線的距離公式、弦長(zhǎng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．