Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)與雙曲線

x2

3

-y2=1共焦點(diǎn)，點(diǎn)A(3，

7

)在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點(diǎn)Q（0，2），P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M滿足：

QM

=

MP

，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓與雙曲線公焦點(diǎn)，可知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)A(3，

7

)在橢圓C上，根據(jù)橢圓的定義，我們可以求出a的值，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用b²=a²-c²，可以求出b²，從而可求橢圓C的方程；
（2）利用點(diǎn)M滿足：

QM

=

MP

，可得動(dòng)點(diǎn)M與動(dòng)點(diǎn)P之間的坐標(biāo)關(guān)系，利用點(diǎn)P滿足橢圓方程，我們可以求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．

解答：解：（1）由已知得雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
由橢圓的定義得|AF₁|+|AF₂|=2a，∴

25+7

+

1+7

=2a，∴a=3

2

而c²=4，∴b²=a²-c²=18-4=14
∴所求橢圓方程為

x2

18

+

y2

14

=1
（2）設(shè)M（x，y），P（x₀，y₀），由

QM

=

MP

得（x，y-2）=（x₀-x，y₀-y）
∴

x0=2x y0=2y-2

而P（x₀，y₀）在橢圓

x2

18

+

y2

14

=1上
即

(2x)2

18

+

(2y-2)2

14

=1
即

2x2

9

+

2(y-1)2

7

=1為所求M的軌跡方程．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查代入法求軌跡方程，解題的關(guān)鍵是利用向量關(guān)系，尋求動(dòng)點(diǎn)之間的坐標(biāo)關(guān)系．