Question

拋物線y²=4x的焦點為F，點P（x，y）為該拋物線上的動點，O為坐標(biāo)原點，則

|PF|

|PO|

的最小值是（　�。�

• A、

  2

  2

• B、

  3

  2

• C、

  5

  2

• D、

  2

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由拋物線的性質(zhì)寫出準(zhǔn)線方程，再由定義得到|PF|=x+1，從而有

|PF|

|PO|

=

x+1

x2+4x

，令x+1=t（t≥1），轉(zhuǎn)化為t的函數(shù)，整理配方得到f（t）=

1

-3( 1 t - 1 3 )2+ 4 3

，由二次函數(shù)的對稱軸，即可得到最小值．

解答： 解：∵拋物線y²=4x的準(zhǔn)線方程為：x=-1，
∴由拋物線的定義可得，|PF|=x+1，
∴

|PF|

|PO|

=

x+1

x2+y2

=

x+1

x2+4x

，
令x+1=t（t≥1），則上式=f（t）=

t

(t-1)2+4(t-1)

=

t

t2+2t-3

=

1

1+ 2 t - 3 t2

=

1

-3( 1 t - 1 3 )2+ 4 3

，
于是當(dāng)

1

t

=

1

3

即t=3，即x=2，f（t）取最小為

3

2

，此時P（2，±2

2

）．
故選B．

點評：本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，考查函數(shù)的最值求法，注意運用分式中變量分離法，及配方法，屬于中檔題．