Question

為迎接2013年全運(yùn)會在注著名的海濱城市大連舉行了場奧運(yùn)選拔賽，其中甲乙兩名運(yùn)動員為爭取最好一個參賽名額進(jìn)行了7輪比賽的得分如莖葉圖所示．
（Ⅰ）若從甲運(yùn)動員的每輪比賽的得分中任選3個不低于80分且不高于90分的得分，求甲的3個得分與其每輪比賽的平均分的差的絕對值不超過2的概率；
（Ⅱ）若分別從甲，乙兩名運(yùn)動員的每輪比賽不低于80分且不高于90分的得分中任選1個，求甲，乙兩名運(yùn)動員得分之差的絕對值ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點：離散型隨機(jī)變量及其分布列,莖葉圖,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由莖葉圖可知，甲每輪比賽的平均得分為84，甲運(yùn)動員每輪比賽得分中不低于80且不高于90的得分共有5個，其中81分與平均得分的絕對值大于2，由此能求出甲的3個得分與其每輪比賽的平均分的差的絕對值不超過2的概率．
（2）設(shè)甲、乙兩名運(yùn)動員的得分分別為x，y，則得分之差的絕對值為ξ=|x-y|．ξ的可能取值為0，1，2，3，5，6．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出甲，乙兩名運(yùn)動員得分之差的絕對值ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答： （本小題滿分12分）
解：（1）由莖葉圖可知，
甲運(yùn)動員七輪比賽的得分情況為：78，81，84，85，84，85，91．
所以甲每輪比賽的平均得分為

.

x

=

1

7

(78+81+84+85+84+85+91)=84．…（2分）
甲運(yùn)動員每輪比賽得分中不低于80且不高于90的得分共有5個，
分別為81，84，85，84，85，其中81分與平均得分的絕對值大于2，
所求概率P=

C 3 4

C 3 5

=

2

5

．…（5分）
（2）設(shè)甲、乙兩名運(yùn)動員的得分分別為x，y，則得分之差的絕對值為ξ=|x-y|．
顯然，由莖葉圖可知，ξ的可能取值為0，1，2，3，5，6．
當(dāng)ξ=0時，x=y=84，故P（ξ=0）=

C 1 2 C 1 3

C 1 5 C 1 5

=

6

25

，
當(dāng)ξ=1時，x=85，y=84或y=86，故P（ξ=1）=

C 1 2 C 1 4

C 1 5 C 1 5

=

8

25

，
當(dāng)ξ=2時，x=84，y=86或x=85，y=87，
故P（ξ=2）=

C 1 2 C 1 1

C 1 5 C 1 5

+

C 1 2 C 1 1

C 1 5 C 1 5

=

4

25

，
當(dāng)ξ=3時，x=81，y=84或x=84，y=87，
故P（ξ=3）=

C 1 1 C 1 3

C 1 5 C 1 5

+

C 1 2 C 1 1

C 1 5 C 1 5

=

5

25

=

1

5

，
當(dāng)ξ=5時，x=81，y=86，故P（ξ=5）=

C 1 1 C 1 1

C 1 5 C 1 5

=

1

25

，
當(dāng)ξ=6時，x=81，y=87，故P（ξ=6）=

C 1 1 C 1 1

C 1 5 C 1 5

=

1

25

，…（8分）
所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	5	6
P	6 25	8 25	4 25	1 5	1 25	1 25

Eξ=0×

6

25

+1×

8

25

+2×

4

25

+3×

1

5

+5×

1

25

+6×

1

25

=

42

25

．…（12分）

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．