Question

已知點(diǎn)A（-1，0），B（2，0），動(dòng)點(diǎn)M滿足2∠MAB=∠MBA，求點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析：如何體現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)M滿足的條件2∠MAB=∠MBA是解決本題的關(guān)鍵．用動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)體現(xiàn)2∠MAB=∠MBA的最佳載體是直線MA、MB的斜率．

解答：解：設(shè)M（x，y），∠MAB=α，則∠MBA=2α，它們是直線MA、MB的傾角還是傾角的補(bǔ)角，
與點(diǎn)M在x軸的上方還是下方有關(guān)；以下討論：
①若點(diǎn)M在x軸的上方，α∈（0⁰，90⁰），y＞0，
此時(shí)，直線MA的傾角為α，MB的傾角為π-2α，
∴tanα=k_MA=

y

x+1

，tan(π-2α)=

y

x-2

，（2α≠90⁰）
∵tan（π-2α）=-tan2α，∴-

y

x-2

=

2• y x+1

1- y2 (x+1)2

，
得：x²-

y2

3

=1，∵|MA|＞|MB|，∴x＞1．
當(dāng)2α=90°時(shí)，α=45°，△MAB為等腰直角三角形，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，3），它滿足上述方程．
②當(dāng)點(diǎn)M在x軸的下方時(shí)，y＜0，同理可得點(diǎn)M的軌跡方程為x²-

y2

3

=1（x≥1），
③當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上時(shí)，也滿足2∠MAB=∠MBA，此時(shí)y=0（-1＜x＜2）．
綜上所求點(diǎn)的軌跡方程為x²-

y2

3

=1（x≥1）或y=0（-1＜x＜2）．

點(diǎn)評(píng)：求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法，本題主要用直接法，直接法是將動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡(jiǎn)即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程．