Question

5．已知由實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合A滿足條件：若a∈A，a≠1，則$\frac{1}{1-a}∈A$．
（1）若2∈A，則A中必還有另外兩個(gè)元素，求出這兩個(gè)元素；
（2）求證：若a∈A，a≠1，則1-$\frac{1}{a}$∈A；
（3）求證：A不可能是單元素集．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件，由2∈A便可得出$\frac{1}{1-2}∈A$，進(jìn)而$\frac{1}{1-\frac{1}{1-2}}∈A$，從而可以求出集合A的另外的兩個(gè)元素；
（2）根據(jù)條件，a∈A得出$\frac{1}{1-a}∈A$，同樣得出$\frac{1}{1-\frac{1}{1-a}}∈A$，化簡(jiǎn)后即可得出結(jié)論成立；
（3）可考慮反證法，假設(shè)A為單元素集，從而得出a=$\frac{1}{1-a}$，只需說(shuō)明該方程無(wú)解即可．

解答 解：（1）根據(jù)條件，若2∈A，則$\frac{1}{1-2}=-1∈A$，$\frac{1}{1-（-1）}=\frac{1}{2}∈A$；
∴這兩個(gè)元素為$-1，\frac{1}{2}$；
（2）證明：若a∈A，a≠1，則$\frac{1}{1-a}∈A$；
∴$\frac{1}{1-\frac{1}{1-a}}=1-\frac{1}{a}∈A$；
（3）證明：若A為單元素集，則a=$\frac{1}{1-a}$；
整理成，a²-a+1=0；
△=1-4＜0；
∴該方程無(wú)解；
即A不可能是單元素集．

點(diǎn)評(píng) 考查元素與集合的關(guān)系，理解集合A所滿足的條件，反證法證明問(wèn)題的方法和過(guò)程，以及單元素集的定義，一元二次方程實(shí)根的判斷．