Question

9．已知函數(shù)f（x）=x²+e^x-$\frac{1}{2}$（x＞0）與g（x）=x²+ln（x+a）的圖象上存在關于y軸對稱的點，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （-$\sqrt{e}$，$\sqrt{e}$）
• B． （-$\sqrt{e}$，+∞）
• C． （-∞，$\sqrt{e}$）
• D． （$\sqrt{e}$，+∞）

Answer 1

分析 由題意可得，存在x＜0使f（x）-g（-x）=0，即e^x-

1

2

-ln（-x+a）=0在（0，+∞）上有解，從而化為函數(shù)m（x）=e^x-

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2

-ln（-x+a）在（0，+∞）上有零點，利用函數(shù)零點的判定定理，從而求解．

解答 解：若函數(shù)f（x）=x²+e^x-

1

2

（x＜0）與g（x）=x²+ln（x+a）圖象上存在關于y軸對稱的點，
則等價于方程f（x）=g（-x），在x＞0時有解．
方程即x²+e^x-

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2

=x²+ln（-x+a），
即方程e^x-

1

2

-ln（-x+a）=0在（0，+∞）上有解．
令m（x）=e^x-

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2

-ln（-x+a），
則m（x）=e^x-

1

2

-ln（-x+a）在其定義域上是增函數(shù)，
且x→+∞時，m（x）→+∞，
當x→0時，m（x）→$\frac{1}{2}$-lna，∴$\frac{1}{2}$-lna＜0，∴l(xiāng)na＞$\frac{1}{2}$，∴a＞$\sqrt{e}$，
綜上所述，a∈（

e

，+∞）．
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)與方程的應用，根據(jù)函數(shù)的圖象與方程的根及函數(shù)的零點之間的關系，進行轉化是解決本題的關鍵．，綜合性較強，難度較大，屬于難題．