Question

5．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}{{{log}_{\frac{1}{3}}}x，}{x＞1}\end{array}\\ \begin{array}{l}{-{x^2}+2x，}{x≤1}\end{array}，\end{array}\right.$則f（f（3））=-3，函數(shù)f（x）的最大值是1．

Answer 1

分析 由分段函數(shù)求f（3）=-1，再求f（-1），可得f（F（3））；運用對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性，可得f（x）的最大值．

解答 解：函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}{{{log}_{\frac{1}{3}}}x，}{x＞1}\end{array}\\ \begin{array}{l}{-{x^2}+2x，}{x≤1}\end{array}，\end{array}\right.$
可得f（3）=$lo{g}_{\frac{1}{3}}3$=-1，
f（f（3））=f（-1）=-1-2=-3：
當x＞1時，f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{3}}x$遞減，可得f（x）＜0：
當x≤1時，f（x）=-x²+2x=-（x-1）²+1遞增，
可得f（x）≤1．
綜上可得，f（x）的值域為f（x）的最大值為1．
故答案為：-3，1．

點評 本題考查分段函數(shù)的函數(shù)值和最值的求法，注意運用對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．