Question

已知三棱柱ABC—A₁B₁C₁的三視圖如圖所示，其中主視圖AA₁B₁B和左視圖B₁BCC₁均為矩形，俯視圖△A₁B₁C₁中，A₁C₁=3，A₁B₁=5，cos∠A₁=.

(1)在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，求證：BC⊥AC₁；

(2)在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，若D是底邊AB的中點(diǎn)，求證：AC₁∥平面CDB₁；

(3)若三棱柱的高為5，求三視圖中左視圖的面積.

Answer 1

解:(1)證明:∵主視圖和左視圖均為矩形,∴該三棱柱為直三棱柱.

又俯視圖△A₁B₁C₁中，A₁C₁=3，A₁B₁=5，cos∠A₁=，

由余弦定理可得B₁C₁=4,∴∠A₁C₁B₁=∠ACB=90°.

∴BC⊥AC.

又∵BC⊥CC₁，CC₁∩A₁C₁=C₁，

∴BC⊥平面ACC₁A₁.

∵AC₁平面ACC₁A₁，∴BC⊥AC₁.

(2)證明:連BC₁交B₁C于M，則M為BC₁的中點(diǎn)，連DM，則DM∥AC₁.

∵DM平面DCB₁，AC₁平面DCB₁，∴AC₁∥平面CDB₁.

(3)左視圖中BC的長(zhǎng)等于底面△ABC中頂點(diǎn)C到邊AB的距離d,d=,

∴左視圖的面積S=×5=12.