Question

3．已知函數(shù)f（x）=ln（2ax+1）+$\frac{x^3}{3}-{x^2}-2ax（{a∈R}）$．
（1）若y=f（x）在[3，+∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=-$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)y=f（1-x）-$\frac{{{{（{1-x}）}^3}}}{3}-\frac{x}$有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)f（x）在區(qū)間[3，+∞）上為增函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，通過(guò)①當(dāng)a=0時(shí)，②當(dāng)a≠0時(shí)，說(shuō)明只能a＞0，利用函數(shù)的單調(diào)性以及最值求解a的取值范圍．
（2）當(dāng)$a=-\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)$y=f（{1-x}）-\frac{{{{（{1-x}）}^3}}}{3}-\frac{x}$有零點(diǎn)等價(jià)于方程：$f（{1-x}）=\frac{{{{（{1-x}）}^2}}}{3}+\frac{x}$有實(shí)根，$f（{1-x}）=\frac{{{{（{1-x}）}^3}}}{3}+\frac{x}$可化為：$lnx-{（{1-x}）^2}+（{1-x}）-\frac{x}$=0．等價(jià)于b=xlnx+x²-x³在（0，+∞）上有解，
令函數(shù)h（x）=lnx+x-x²（x＞0），求解$h'（x）=\frac{1}{x}+1-2x=\frac{{（{2x+1}）（{1-x}）}}{x}$，求出函數(shù)的最值，推出結(jié)果即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[3，+∞）上為增函數(shù)，
∴$f'（x）=\frac{{x[{2a{x^2}+x-4ax-4{a^2}-2}]}}{2ax+1}≥0$在區(qū)間[3，+∞）上恒成立，
①當(dāng)a=0時(shí)，f'（x）=x（x-2）≥0在[3，+∞）上恒成立，
∴f（x）在[3，+∞）上為增函數(shù)，故a=0符合題意．
②當(dāng)a≠0時(shí)，由函數(shù)f（x）的定義域可知2ax+1＞0對(duì)x≥3恒成立，
故只能a＞0，∴2ax²+（1-4a）x-（4a²+2）≥0在[3，+∞）上恒成立，
令函數(shù)g（x）=2ax²+（1-4a）x-（4a²+2），其對(duì)稱軸為$x=1-\frac{1}{4a}$，
∵a＞0，∴$1-\frac{1}{4a}＜1$，要使g（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可，
即g（3）=-4a²+6a+1≥0，∴$\frac{{3-\sqrt{13}}}{4}≤a≤\frac{{3+\sqrt{13}}}{4}$，
∵a＞0，∴$0＜a≤\frac{{3+\sqrt{13}}}{4}$，綜上所述，a的取值范圍為$0＜a≤\frac{{3+\sqrt{13}}}{4}$．
（2）當(dāng)$a=-\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)$y=f（{1-x}）-\frac{{{{（{1-x}）}^3}}}{3}-\frac{x}$有零點(diǎn)，
等價(jià)于方程：$f（{1-x}）=\frac{{{{（{1-x}）}^2}}}{3}+\frac{x}$有實(shí)根，$f（{1-x}）=\frac{{{{（{1-x}）}^3}}}{3}+\frac{x}$
可化為：$lnx-{（{1-x}）^2}+（{1-x}）-\frac{x}$=0．
等價(jià)于b=xlnxx-x（1-x）²+x（1-x）=xlnx+x²-x³在（0，+∞）上有解，
即求函數(shù)g（x）=xlnx+x²-x³的值域，
∵函數(shù)g（x）=x（lnx+x-x²），
令函數(shù)h（x）=lnx+x-x²（x＞0），則$h'（x）=\frac{1}{x}+1-2x=\frac{{（{2x+1}）（{1-x}）}}{x}$，
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h'（x）＞0，從而函數(shù)h（x）在（0，1）上為增函數(shù)，
當(dāng)x＞1時(shí)，h'（x）＜0，從而函數(shù)h（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，
因此h（x）≤h（1）=0，而x＞0，∴b=x•h（x）≤0，
故當(dāng)x=1時(shí)，b取得最大值0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值最值的求法，同時(shí)考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．