Question

3．已知四棱錐P-ABCD的底面是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，且PD=AD，E是線段PC的中點(diǎn)
（Ⅰ）求證：PA∥面BDE；
（Ⅱ）求二面角A-BD-E所成的平面角的余弦值大��；
（Ⅲ）若將四棱錐P-ABCD的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總是多少．

Answer 1

分析 （I）連接AC交BD于O，連接OE，易知O為AC的中點(diǎn)，利用三角形中位線定理、線面平行的判定定理即可得出．
（II）通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角公式、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出．
（III）對(duì)A與C是否同色分類討論，利用乘法原理與加法原理即可得出．

解答 （I）證明：連接AC交BD于O，連接OE，易知O為AC的中點(diǎn)，
∴OE為△APC的中位線
∴AP∥OE，
又OE?平面BDE，AP?平面BDE，
∴AP∥平面BDE．
（II）解：以DA，DC，DP分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則A（2，0，0），B（2，2，0），D（0，0，0），E（0，1，1），P（0，0，2），
$\overrightarrow{DE}$=（0，1，1），$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），
設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{y+z=0}\\{2x+2y=0}\end{array}\right.$，
$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），又$\overrightarrow{DP}$=（0，0，2）．
設(shè)二面角A-BD-E的平面角為θ．
則cosθ=-$|cos＜\overrightarrow{DP}，\overrightarrow{n}＞|$=-$\frac{|\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{DP}||\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角A-BD-E所成的平面角的余弦值為-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（III）解：若A與C同色則有5×4×3×1×3=180，
若A與C不同色則有5×4×3×2×2=240．
∴共有180+240=420（種）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查立體幾何中邏輯推理、空間位置關(guān)系、空間角、排列與組合、乘法原理，考查了分類討論思想、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．