Question

13．2014年9月13日，被譽(yù)為西南第一高鐵的成綿樂客運(yùn)專線正式進(jìn)入調(diào)試階段．在進(jìn)行“綜合檢測列車逐級(jí)提速試驗(yàn)”時(shí)，必須對(duì)其中三項(xiàng)不同的指標(biāo)甲、乙、丙進(jìn)行通過量化檢測．假設(shè)三項(xiàng)指標(biāo)甲、乙、丙進(jìn)行通過檢測合格的概率分別為$\frac{2}{3}$、$\frac{2}{3}$、$\frac{1}{2}$，指標(biāo)甲、乙、丙檢測合格分別記4分、2分、4分，若某項(xiàng)指標(biāo)不合格，則該項(xiàng)指標(biāo)記0分，各項(xiàng)指標(biāo)檢測結(jié)果互不影響．
（1）求該試驗(yàn)中對(duì)三項(xiàng)不同的指標(biāo)量化檢測得分不低于8分的概率；
（2）記三個(gè)指標(biāo)中被檢測合格的指標(biāo)個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)該試驗(yàn)中對(duì)三項(xiàng)不同的指標(biāo)甲、乙、丙量化檢測合格分別為事件A、B、C，則該試驗(yàn)中對(duì)三項(xiàng)不同的指標(biāo)量化檢測得分不低于8分的事件為ABC+A$\overline{B}$C，由ABC與A$\overline{B}$C互斥，且A、B、C彼此獨(dú)立，能求出該試驗(yàn)中對(duì)三項(xiàng)不同的指標(biāo)量化檢測得分不低于8分的概率．
（2）三個(gè)指標(biāo)中被檢測合格的指標(biāo)個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量ξ，則ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）設(shè)該試驗(yàn)中對(duì)三項(xiàng)不同的指標(biāo)甲、乙、丙量化檢測合格分別為事件A、B、C，
則該試驗(yàn)中對(duì)三項(xiàng)不同的指標(biāo)量化檢測得分不低于8分的事件為ABC+A$\overline{B}$C，
∵ABC與A$\overline{B}$C互斥，且A、B、C彼此獨(dú)立，
∴該試驗(yàn)中對(duì)三項(xiàng)不同的指標(biāo)量化檢測得分不低于8分的概率：
P（ABC+A$\overline{B}$C）=P（A）P（B）P（C）+P（A）P（$\overline{B}$）P（C）
=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{2}{3}×（1-\frac{2}{3}）×\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{3}$．
（2）三個(gè)指標(biāo)中被檢測合格的指標(biāo)個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量ξ，則ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=P（$\overline{A}\overline{B}\overline{C}$）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{18}$，
P（ξ=1）=P（A$\overline{B}\overline{C}$）+P（$\overline{A}B\overline{C}$）+P（$\overline{A}\overline{B}C$）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{5}{18}$，
P（ξ=2）=P（$AB\overline{C}+A\overline{B}C+\overline{A}BC$）=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$+$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{8}{18}$，
P（ξ=3）=P（ABC）=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{4}{18}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{18}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{8}{18}$	$\frac{4}{18}$

Eξ=$0×\frac{1}{18}+1×\frac{5}{18}+2×\frac{8}{18}+3×\frac{4}{18}$=$\frac{33}{18}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)立事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．