Question

【題目】已知， .

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）若，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：

（Ⅰ）由函數(shù)的解析式可得 ，當(dāng)時， ， 在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由導(dǎo)函數(shù)的符號可知在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增.

（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，求導(dǎo)有，注意到.分類討論：當(dāng)時，不滿足題意. 當(dāng)時， ， 在上單調(diào)遞增；所以，滿足題意.

則實數(shù)的取值范圍是.

試題解析：

（Ⅰ） ，

當(dāng)時， ， .∴在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，由，得.

當(dāng)時， ；當(dāng)時， .

所以在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增.

（Ⅱ）令，

問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，

，注意到.

當(dāng)時， ，

，

因為，所以， ，

所以存在，使，

當(dāng)時， ， 遞減，

所以，不滿足題意.

當(dāng)時， ，

當(dāng)時， ， ，

所以， 在上單調(diào)遞增；所以，滿足題意.

綜上所述： .