Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且滿(mǎn)足a1=1，anan+1=2Sn ， 設(shè)bn= ，若存在正整數(shù)p，q（p＜q），使得b1 ， bp ， bq成等差數(shù)列，則p+q= ．

Answer 1

【答案】5
【解析】解：數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1，anan+1=2Sn ， ∴n=1時(shí)，a1a2=2S1=2a1 ， 解得a2=2．n≥2時(shí)，2an=2（Sn﹣Sn﹣1）=an（an+1﹣an﹣1），∵an≠0，∴an+1﹣an﹣1=2． ∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，∴an=1+n﹣1=n．
∴bn= = ．
∵存在正整數(shù)p，q（p＜q），使得b1 ， bp ， bq成等差數(shù)列，
∴2bp=b1+bq ， ∴ = （*）．
∵數(shù)列{bn}是單調(diào)遞減數(shù)列．
當(dāng)p=1時(shí)，由 + ，解得q=1，舍去．
當(dāng)2≤p＜q時(shí)， ， ﹣ = ．
當(dāng)3≤p時(shí)， ≥ ， ＞0，∴ + ，（*）不成立．
∴p=2，可得： = + ，解得q=3．
∴p+q=5．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解數(shù)列的前n項(xiàng)和(數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系)．