Question

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)锳，若x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）時(shí)總有x₁=x₂，則稱f（x）為單函數(shù)，例如，函數(shù)f（x）=2x+1（x∈R）是單函數(shù)．下列命題：
①函數(shù)f（x）=x²（x∈R）是單函數(shù)；
②函數(shù)f(x)=

x

x-1

是單函數(shù)；
③若f（x）為單函數(shù)，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，，則f（x₁）≠f（x₂）；
④在定義域上具有單調(diào)性的函數(shù)一定是單函數(shù)．
其中的真命題是

②③④

．（寫出所有真命題的編號(hào)）

Answer 1

分析：由題意單函數(shù)的實(shí)質(zhì)是一對(duì)一的映射，而單調(diào)的函數(shù)也是一對(duì)一的映射，據(jù)此可逐個(gè)判斷．

解答：解：①函數(shù)f（x）=x²（x∈R）不是單函數(shù)，例如f（1）=f（-1），顯然不會(huì)有1和-1相等，故為假命題；
②函數(shù)f(x)=

x

x-1

是單函數(shù)，因?yàn)槿?span id="8kqkwoc" class="MathJye">

x1

x1-1

=

x2

x2-1

，可推出x₁x₂-x₂=x₁x₂-x₁，即x₁=x₂，故為真命題；
③若f（x）為單函數(shù)，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，，則f（x₁）≠f（x₂）為真，
可用反證法證明：假設(shè)f（x₁）=f（x₂），則按定義應(yīng)有x₁=x₂，與已知中的x₁≠x₂矛盾；
④在定義域上具有單調(diào)性的函數(shù)一定是單函數(shù)為真，因?yàn)閱魏瘮?shù)的實(shí)質(zhì)是一對(duì)一的映射，而單調(diào)的函數(shù)也是，故為真．
故答案為②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題為新定義，準(zhǔn)確理解單函數(shù)并把它跟已知函數(shù)的性質(zhì)聯(lián)系起來(lái)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．