Question

6．已知f（x）=|x-1|+|x-2}，其中x∈R．
（1）解不等式f（x）＜5；
（2）若不等式f（x）≥a+$\frac{2}{a}$恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）可討論x的取值去掉絕對(duì)值號(hào)得到$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{-2x+3}&{x≤1}\\{1}&{1＜x＜2}\\{2x-3}&{x≥2}\end{array}\right.$，這樣把每段函數(shù)帶入f（x）＜5便可得到一個(gè)不等式，解不等式再求并集便可得出原不等式的解集；
（2）可以求出f（x）的最小值為1，從而可由原不等式得到1$≥a+\frac{2}{a}$，這樣解該不等式即可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）$f（x）=|x-1|+|x-2|=\left\{\begin{array}{l}{-2x+3}&{x≤1}\\{1}&{1＜x＜2}\\{2x-3}&{x≥2}\end{array}\right.$；
∴①x≤1時(shí)，由f（x）＜5得，-2x+3＜5；
∴x＞-1；
即-1＜x≤1；
②1＜x＜2時(shí)，1＜5恒成立；
即1＜x＜2；
③x≥2時(shí)，2x-3＜5；
∴x＜4；
即2≤x＜4；
綜上得，原不等式的解集為（-1，4）；
（2）f（x）=|x-1|+|x-2|≥|（x-1）-（x-2）|=1；
即f（x）的最小值為1；
由不等式$f（x）≥a+\frac{2}{a}$恒成立得，1$≥a+\frac{2}{a}$；
解得a＜0；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，0）．

點(diǎn)評(píng) 考查含絕對(duì)值函數(shù)的處理方法：去絕對(duì)值號(hào)，絕對(duì)值不等式公式：|a|+|b|≥|a-b|，以及分式不等式的解法，一元二次不等式的解法．