Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{6co{s}^{4}（-x）-5si{n}^{2}（-x）-4}{cos2x}$，求f（x）的定義域，判斷它的奇偶性，并求其值或．

Answer 1

分析 求定義域只需分母不為0即可，奇偶性看f（-x）和f（x）的關系，求其值域需對函數(shù)進行恒等變形，統(tǒng)一成余弦，再用降冪公式即可．

解答 解：f（x）=$\frac{6co{s}^{4}（-x）-5si{n}^{2}（-x）-4}{cos2x}$=$\frac{6co{s}^{4}x-5si{n}^{2}x-4}{cos2x}$，
由cos2x≠0，得$2x≠kπ+\frac{π}{2}$，
解得$x≠\frac{kπ}{2}+\frac{π}{4}，k∈Z$．
∵f（x）的定義域為$\{x|x∈R且x≠\frac{kπ}{2}+\frac{π}{4}，k∈Z\}$．
∴f（x）的定義域關于原點對稱，
∵f（-x）=$\frac{6co{s}^{4}（-x）-5si{n}^{2}（-x）-4}{cos2x}$=$\frac{6co{s}^{4}x-5si{n}^{2}x-4}{cos2x}$=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)．
當$x≠\frac{kπ}{2}+\frac{π}{4}\;，k∈z$時，
f（x）=$\frac{6co{s}^{4}x-5si{n}^{2}x-4}{cos2x}$=$\frac{6co{s}^{4}x-5（1-co{s}^{2}x）-4}{cos2x}$=$\frac{6co{s}^{4}x+co{s}^{2}x-9}{cos2x}$
=$\frac{6×（\frac{1+cos2x}{2}）^{2}+\frac{1+cos2x}{2}-9}{cos2x}$=$\frac{3co{s}^{2}2x+3cos2x-15}{cos2x}$=3cos2x-$\frac{15}{cos2x}$+3，
設t=cos2x，則-1≤t＜0或0＜t≤1，
則函數(shù)等價為y=3t-$\frac{15}{t}$+3，則函數(shù)在-1≤t＜0和0＜t≤1分別單調遞增，
當-1≤t＜0時，y≥-3+15+3=15
當0＜t≤1時，y≤3-15+3=-9，
即函數(shù)的值域為（-∞，-9]∪[15，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)的定義域，奇偶性和值域的求解，利用三角函數(shù)的恒等變形及三角函數(shù)的性質，結合函數(shù)奇偶性和單調性與值域的關系是解決本題的關鍵．，考查邏輯思維能力、分析和解決問題的能力．