Question

13．函數(shù)f（x）=（x-1）（x²+ax+b）x∈[-2，0]的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，0）對(duì)稱，則f（x）的最小值是-3．

Answer 1

分析 由題意可得（-1，0）在f（x）的圖象上，（0，-b）關(guān)于（-1，0）對(duì)稱點(diǎn)為（-2，b），解關(guān)于a，b的方程可得f（x）的解析式，求出導(dǎo)數(shù)，判斷符號(hào)，由單調(diào)性即可得到所求最小值．

解答 解：取f（x）圖象上（0，-b）關(guān)于（-1，0）對(duì)稱點(diǎn)為（-2，b），
（-1，0）在f（x）的圖象上，
即有-2（1-a+b）=0，且-3（4-2a+b）=b，
解方程可得a=4，b=3，
則f（x）=（x-1）（x²+4x+3），x∈[-2，0]
導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²+6x-1=3x（x+2）-1＜0，
則f（x）在[-2，0]遞減，
f（-2）取得最大值，且為3；
f（0）取得最小值，且為-3．
故答案為：-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用函數(shù)的對(duì)稱性和導(dǎo)數(shù)，以及單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．