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5.已知數(shù)列{an}滿足a1=2,an>0,且an+124-an24=1(n∈N+
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn=(2an4.當(dāng)n≥2時(shí),求證:b2+b3+…+bnn12n+1

分析 (1)直接由已知可得數(shù)列{an24}是以a124=1為首項(xiàng),以1為公差的等差數(shù)列,求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式后可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)把(1)中求得的an24=n代入n=2an4,縮小后利用裂項(xiàng)相消法證明答案.

解答 (1)解:由an+124-an24=1,
可知數(shù)列{an24}是以a124=1為首項(xiàng),以1為公差的等差數(shù)列,
an24=1+n1×1=n
an2=4n,又an>0,
an=2n;
(2)證明:由n=2an4,且an24=n
n=1n21nn+1=1n1n+1(n≥2),
∴b2+b3+…+bn1213+1314++1n1n+1=121n+1=n12n+1

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式,考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和,是中檔題.

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