Question

15．已知二次函數(shù)f（x），若f（x）＜0時的解集為{x|-1＜x＜4}，且f（6）=28．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)$g（x）=\frac{f（x-m）}{x}（m＞1）$在區(qū)間$[8\sqrt{3}，16]$上是單調(diào)遞增函數(shù)，試求函數(shù)g（x）在該區(qū)間上的最大值的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)與對應不等式和方程的關系，結合f（6）=28，求出f（x）的解析式；
（2）由f（x）的解析式，求出f（x-m），根據(jù)g（x）的解析式求出g（x）在[8$\sqrt{3}$，16]上單調(diào)遞增的條件，
求出m的取值范圍，再求出函數(shù)g（x）在[8$\sqrt{3}$，16]上的最大值g（16）的解析式，從而求出它的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）是二次函數(shù)，且不等式f（x）＜0的解集是（-1，4），
∴-1，4是方程f（x）=0的兩個根，且拋物線開口向上，
設f（x）=a（x+1）（x-4），a＞0．
f（6）=a（6+1）（6-4）=28，
解得a=2，
∴f（x）=2（x+1）（x-4）；
（2）由f（x）=2（x+1）（x-4），得f（x-m）=2（x-m+1）（x-m-4），
g（x）=$\frac{f（x-m）}{x}$=$\frac{2（x-m+1）（x-m-4）}{x}$=2[x+$\frac{{m}^{2}+3m-4}{x}$-（2m+3）]；
當m＞1時，m²+3m-4＞0恒成立，
∴當x≥$\sqrt{{m}^{2}+3m-4}$時，g（x）是單調(diào)增函數(shù)，
x≤-$\sqrt{{m}^{2}+3m-4}$時，g（x）是單調(diào)減函數(shù)；
又g（x）在[8$\sqrt{3}$，16]上是單調(diào)增函數(shù)，
∴$\sqrt{{m}^{2}+3m-4}$≥8$\sqrt{3}$；
化簡得m²+3m-196≥0，
解得m≥$\frac{-3+\sqrt{793}}{2}$或m≤$\frac{-3-\sqrt{793}}{2}$（不合題意，舍去）；
又函數(shù)g（x）在區(qū)間$[8\sqrt{3}，16]$上是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴函數(shù)g（x）在該區(qū)間上的最大值為
g（16）=$\frac{2（16-m+1）（16-m-4）}{16}$=$\frac{1}{8}$（17-m）（12-m）=$\frac{1}{8}$（m-17）（m-12）；
由m≥$\frac{-3+\sqrt{793}}{2}$知，
12＜$\frac{-3+\sqrt{793}}{2}$＜13，
且（m-17）（m-12）的對稱軸為m=14.5，
所以$\frac{1}{8}$（m-17）（m-12）有最小值-$\frac{25}{32}$，它的取值范圍是[-$\frac{25}{32}$，+∞）．
故所求的取值范圍是[-$\frac{25}{32}$，+∞）．

點評 本題考查了二次函數(shù)與對應不等式的應用問題，也求函數(shù)的取值范圍的應用問題，是難題．