Question

已知雙曲線C的中心在坐標原點，漸近線方程是3x±2y=0，左焦點的坐標為(-

13

，0)，A、B為雙曲線C上的兩個動點，滿足

OA

•

OB

=0．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）求

1

| OA |2

+

1

| OB |2

的值；
（Ⅲ）動點P在線段AB上，滿足

OP

•

AB

=0，求證：點P在定圓上．

Answer 1

（Ⅰ）由題意c=

13

，

b

a

=

3

2

，則由c²=a²+b²得a=2，b=3
所以雙曲線C的方程為

x2

4

-

y2

9

=1…（2分）
（Ⅱ）解法一：①當過A、B兩點的直線斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+m，則
由

y=kx+m x2 4 - y2 9 =1

得(9-4k2)x2-8kmx-4m2-36=0(k≠±

3

2

)…（4分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

8km

9-4k2

，x1x2=-

4m2+36

9-4k2

∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=

9m2-36k2

9-4k2

…（5分）
又

OA

•

OB

=0，則x₁x₂+y₁y₂=0，
即-

4m2+36

9-4k2

+

9m2-36k2

9-4k2

=0，
∴5m²=36（k²+1）
滿足△=64k²m²+16（m²+9）（9-4k²）=64m²+117＞0…（6分）
設原點O到直線AB的距離為d，
則d=

|m|

1+k2

，又由|

OA

|2×|

OB

|2=d2×|

AB

|2
∴

1

| OA |2

+

1

|  OB | 2

=

| AB |2

| OA |2| OB |2

=

(1+k2)(x1-x2)2

(x12+y12)(x22+y22)

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

( 13x12 4 -9)( 13x22 4 -9)

=

k2+1

m2

，
∴

1

| OA |2

+

1

| OB |2

=

5

36

為定值…（8分）
②當過A，B兩點的直線斜率不存在時，設直線AB的方程為x=m，則可驗證

1

| OA |2

+

1

| OB |2

=

5

36

為定值…（10分）
解法二：設A（rcosθ，rsinθ）、B（kcosα，ksinα），則r=|

OA

|，k=|

OB

|…（4分）
點A在雙曲線上，則r2(

cos2θ

4

-

sin2θ

9

)=1?

1

r2

=

cos2θ

4

-

sin2θ

9

…（6分）
由

OA

•

OB

=0得cos²α=sin²θ，cos²θ=sin²α
同理，

1

k2

=

cos2α

4

-

sin2α

9

=

sin2θ

4

-

cos2θ

9

…（8分）
所以

1

| OA |2

+

1

| OB |2

=

1

r2

+

1

k2

=

1

4

-

1

9

=

5

36

為定值…（10分）
（Ⅲ）由三角形面積公式，得|

OP

|×|

AB

|=|

OA

|×|

OB

|
所以|

OP

|2×|

AB

|2=|

OA

|2×|

OB

|2?|

OP

|2×(|

OA

|2+|

OB

|2)=|

OA

|2×|

OB

|2
即|

OP

|2×(

1

| OA |2

+

1

| OB |2?

)=1?|

OP

|2=

36

5

所以點P在以原點為圓心，

6 5

5

半徑的圓上…（13分）