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設函數的定義域為（0，）.

(Ⅰ)求函數在上的最小值；

(Ⅱ)設函數，如果，且，證明：.

 

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 利用導數分析單調性，進而求最值；(Ⅱ)分類討論函數的單調性

試題解析：(Ⅰ)，則時，；時，。

所以，函數在（0，1）上是減函數，在（1，+）上是增函數.  2分

當時，函數在[m，m+1]上是增函數,

此時；

當時，函數在[m， 1]上是減函數,在[1，m+1]上是增函數，

此時；                                 6分

(Ⅱ)證明：考察函數， 

所以g(x)在()內是增函數，在()內是減函數.（結論1）

考察函數F(x)=g(x)-g(2-x)，即

于是

當x>1時，2x-2>0,從而(x)>0,

從而函數F（x）在[1,+∞)是增函數。                                           

又F(1)=F(x)>F(1)=0,即g(x)>g(2-x). （結論2）  10分

若，由結論1及，得，與矛盾；

若，由結論1及，得，與矛盾；  12分

若不妨設

由結論2可知，g()>g(2-)，所以>g(2-)。

因為，所以，又由結論1可知函數g(x)在區(qū)間（-∞，1）內是增函數，

所以>,即>2.                  15分

考點：導數，函數的單調性，分類討論.

 

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

（2010•北京模擬）定義函數y=f（x）：對于任意整數m，當實數x∈(m-
1
2
，m+
1
2
)時，有f（x）=m．
（Ⅰ）設函數的定義域為D，畫出函數f（x）在x∈D∩[0，4]上的圖象；
（Ⅱ）若數列an=2+10(
2
5
)n（n∈N*），記Sn=f（a1）+f（a2）+…+f（an），求Sn；
（Ⅲ）若等比數列bn的首項是b1=1，公比為q（q＞0），又f（b1）+f（b2）+f（b3）=4，求公比q的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年北京市高三（上）數學會考練習試卷（三）（解析版） 題型：解答題

定義函數y=f（x）：對于任意整數m，當實數x時，有f（x）=m．
（Ⅰ）設函數的定義域為D，畫出函數f（x）在x∈D∩[0，4]上的圖象；
（Ⅱ）若數列（n∈N*），記Sn=f（a1）+f（a2）+…+f（an），求Sn；
（Ⅲ）若等比數列bn的首項是b1=1，公比為q（q＞0），又f（b1）+f（b2）+f（b3）=4，求公比q的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：2010年江西省高三上學期開學模擬考試理科數學卷 題型：解答題

設函數的定義域為（0，+∞），且對任意正實數x,y都有f(x·y)=f(x)+f(y)恒成立，已知f(2)=1且x>1時f(x)>0.

（1）求；

（2）判斷y=f(x)在(0,+ ∞)上的單調性；

（3）一個各項均為正數的數列其中sn是數列的前n項和，求

 

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設函數的定義域為（0，+∞），且對任意正實數x,y都有f(x·y)=f(x)+f(y)恒成立，已知f(2)=1且x>1時f(x)>0.

（1）求；

（2）判斷y=f(x)在(0,+ ∞)上的單調性；

（3）一個各項均為正數的數列其中sn是數列的前n項和，求

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