Question

1．在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{5}t+2}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=asinθ（a≠0）．
（Ⅰ）求圓C的直角坐標(biāo)系方程與直線l的普通方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l截圓C的弦長(zhǎng)等于圓C的半徑長(zhǎng)的$\sqrt{3}$倍，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將t參數(shù)消去可得直線l的普通方程，根據(jù)ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²帶入圓C可得直角坐標(biāo)系方程；
（Ⅱ）利用弦長(zhǎng)公式直接建立關(guān)系求解即可．

解答 解：（Ⅰ）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{5}t+2}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t，可得：4x+3y-8=0；
由圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=asinθ（a≠0），可得ρ²=ρa(bǔ)sinθ，根據(jù)ρsinθ=y，ρ²=x²+y²
可得圓C的直角坐標(biāo)系方程為：x²+y²-ay=0，即${x}^{2}+（y-\frac{a}{2}）^{2}=\frac{{a}^{2}}{4}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知圓C的圓心為（0，$\frac{a}{2}$）半徑r=$\frac{a}{2}$，
直線方程為4x+3y-8=0；
那么：圓心到直線的距離d=$\frac{|\frac{3a}{2}-8|}{5}$
直線l截圓C的弦長(zhǎng)為$\sqrt{3}a$=2$\sqrt{{r}^{2}-cwew4ao^{2}}$
解得：a=32或a=$\frac{32}{11}$
故得直線l截圓C的弦長(zhǎng)等于圓C的半徑長(zhǎng)的$\sqrt{3}$倍時(shí)a的值為32或$\frac{32}{11}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、普通方程的互化，以及應(yīng)用，屬于中檔題．