在直角坐標系XOY中，已知點A（1，0），B（-1，0），C（0，1），D（0，-1），動點M滿足•=m，其中m是參數(shù)（m∈R）
（I）求動點M的軌跡方程，并根據(jù)m的取值討論方程所表示的曲線類型；
（II）當動點M的軌跡表示橢圓或雙曲線，且曲線與直線l：y=x+2交于不同的兩點時，求該曲線的離心率的取值范圍．

【答案】分析：（I）設M（x，y），利用題目中向量的坐標運算，求得向量的坐標后代入題中向量條件，化簡即得軌跡方程，為了說明它是什么類型，必須對參數(shù)m進行討論；
（II）將直線的方程代入圓錐曲線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根的判別式求得m的范圍，再分類討論：（1）m＞1且m≠2時，（2）當m＜-2時，分別求出該圓錐曲線的離心率e的取值范圍即可．
解答：解：（I）設動點M的坐標為（x，y）
由題意得=（x-1，y），=（x+1，y）
=（x，y-1），=（x，y+1），=（x，y）
∴•=x2-1+y2，•-=x2+y2-1=y2-1
化簡得動點M的軌跡方程為x2+（1-m）y2=1-m
當m=1時，x2=0，即x=0，動點M的軌跡是一條直線；
當m≠1時，方程可以化為：
此時，當m=0時，動點M的軌跡是一個圓；
當m＜0，或0＜m＜1時，動點M的軌跡是一個橢圓
當m＞1時，動點M的軌跡是一條雙曲線
（II）當m≠1且m≠0時，由得x2+（1-m）（x2+4x+4）=1-m∴（2-m）x2+4（1-m）x+3（1-m）=0
∵l與該圓錐曲線交于不同的兩個點∴
即∴m＞1且m≠2或m＜-2
（1）m＞1且m≠2時，圓錐曲線表示雙曲線
其中，a2=1，b2=m-1，c2=m∴且
（2）當m＜-2時，該圓錐曲線表示橢圓：
其中a2=1-m，b2=1，c2=-m∵∴
綜上：該圓錐曲線的離心率e的取值范圍是．
點評：本題主要考查了軌跡方程的問題、直線與圓錐曲線的綜合問題、向量的坐標運算，考查分類討論思想以及等價轉(zhuǎn)化能力．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在直角坐標系xOy中，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2．F2也是拋物線C2：y2=4x的焦點，點M為C1與C2在第一象限的交點，且|MF2|=
5
3
．
（Ⅰ）求C1的方程；
（Ⅱ）平面上的點N滿足
MN
=
MF1
+
MF2
，直線l∥MN，且與C1交于A，B兩點，若
OA
•
OB
=0，求直線l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在直角坐標系xOy中，已知點P（2cosx+1，2cos2x+2）和點Q（cosx，-1），其中x∈[0，π]．若向量
OP
與
OQ
垂直，求x的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，在直角坐標系xOy中，射線OA在第一象限，且與x軸的正半軸成定角60°，動點P在射線OA上運動，動點Q在y軸的正半軸上運動，△POQ的面積為2
3
．
（1）求線段PQ中點M的軌跡C的方程；
（2）R1，R2是曲線C上的動點，R1，R2到y(tǒng)軸的距離之和為1，設u為R1，R2到x軸的距離之積．問：是否存在最大的常數(shù)m，使u≥m恒成立？若存在，求出這個m的值；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在直角坐標系xOy中，已知圓M的方程為x2+y2-4xcosα-2ysinα+3cos2α=0（α為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為
x=tcosθ
y=1+tsinθ
(t為參數(shù)）
（I）求圓M的圓心的軌跡C的參數(shù)方程，并說明它表示什么曲線；
（II）求直線l被軌跡C截得的最大弦長．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在直角坐標系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
2
2
，左右兩個焦分別為F1，F(xiàn)2．過右焦點F2且與x軸垂直的直線與橢圓C相交M、N兩點，且|MN|=2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C的一個頂點為B（0，-b），是否存在直線l：y=x+m，使點B關(guān)于直線l 的對稱點落在橢圓C上，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案