Question

班主任為了對本班學(xué)生的考試成績進(jìn)行分析，決定從全班25位女同學(xué)，15位男同學(xué)中隨機(jī)抽取一個容量為8的樣本進(jìn)行分析．
（1）如果按性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本（只要求寫出算式即可，不必計算出結(jié)果）；
（2）隨機(jī)抽取8位同學(xué)，
數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)依次為：60，65，70，75，80，85，90，95；
物理成績依次為：72，77，80，84，88，90，93，95，
①若規(guī)定90分（含90分）以上為優(yōu)秀，記ξ為這8位同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為優(yōu)秀的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
②若這8位同學(xué)的數(shù)學(xué)、物理分?jǐn)?shù)事實(shí)上對應(yīng)下表：

學(xué)生編號	1	2	3	4	5	6	7	8
數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)x	60	65	70	75	80	85	90	95
物理分?jǐn)?shù)y	72	77	80	84	88	90	93	95

根據(jù)上表數(shù)據(jù)可知，變量y與x之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求出y與x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）．（參考公式：

y

=bx+a，其中b=

n i=1 (xi- . x )(yi- . y )

n i=1 (xi- . x )2

，a=

.

y

-b

.

x

；參考數(shù)據(jù)：

.

x

=77.5，

.

y

=84.875，

8

i=1

(xi-

.

x

)2≈1050，

8

i=1

(xi-

.

x

)(yi-

.

y

)≈688，

1050

≈32.4，

457

≈21.4，

550

≈23.5）

Answer 1

分析：（1）從全班25位女同學(xué)，15位男同學(xué)中隨機(jī)抽取一個容量為8的樣本進(jìn)行分析，做出女生和男生在總?cè)藬?shù)中所占的比例，用比例乘以要抽取的樣本容量，得到結(jié)果．
（2）①這是這是一個古典概率，由表中可以看出，所選的8名同學(xué)中，數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為優(yōu)秀的有2人，根據(jù)等可能事件的概率公式得到結(jié)果．
②首先求出兩個變量的平均數(shù)，再利用最小二乘法做出線性回歸方程的系數(shù)，把做出的系數(shù)和x，y的平均數(shù)代入公式，求出a的值，寫出線性回歸方程，得到結(jié)果．

解答：解：（1）從全班25位女同學(xué)，15位男同學(xué)中隨機(jī)抽取一個容量為8的樣本進(jìn)行分析
故抽取男生數(shù)

25

40

×8=5人，

15

40

×8=3，
則共有

C

5 25

C

3 15

個不同樣本；
（2）ξ的所有可能取值為0，1，2
P(ξ=0)=

A 2 5 A 6 6

A 8 8

=

20

56

，P(ξ=1)=

C 1 2 C 1 3 C 1 5 A 6 6

A 8 8

=

30

56

，P(ξ=2)=

A 2 3 A 6 6

A 8 8

=

6

56

故ξ的分布列為

ξ	0	1	2
p	20 56	30 56	6 56

Eξ=0×

20

56

+1×

30

56

+2×

6

56

=

3

4

；
（3）b≈0.655，a≈34.11（a≈34.09或a≈34.10也算正確）
則線性回歸方程為：y=0.655x+34.11

點(diǎn)評：本題考查線性回歸分析的初步應(yīng)用，考查分層抽樣，考查條件概率，考查相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率，考查利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，是一個比較好的綜合題目．