Question

我們把滿足：①各項(xiàng)均為正數(shù)；②2a_n=S_n+

1

2

（n∈N^*）這兩個(gè)條件的數(shù)列{a_n}稱為“正氣數(shù)列”，其中S_n為其前n項(xiàng)和．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若a_n²=(

1

2

)bn，設(shè)c_n=

bn

an

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用遞推式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）由a_n²=(

1

2

)bn，可得2^2n-2=2-bn，b_n=-2n+2．因此c_n=

bn

an

=（1-n）•

1

2n-3

，再利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵2a_n=S_n+

1

2

，∴當(dāng)n=1時(shí)，2a1=a1+

1

2

，解得a1=

1

2

．
當(dāng)n≥2時(shí)，2a_n-1=S_n-1+

1

2

，2a_n-2a_n-1=a_n化為a_n=2a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為

1

2

，公比為2．
∴an=

1

2

×2n-1=2^n-2．
（2）∵a_n²=(

1

2

)bn，
∴2^2n-2=2-bn，
∴-b_n=2n-2，
∴b_n=-2n+2．
∴c_n=

bn

an

=

-2n+2

2n-2

=（1-n）•

1

2n-3

，
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=0-

1

2-1

-2-3•

1

2

-…+(1-n)×

1

2n-3

，

1

2

Tn=0-1-2×

1

2

-3×

1

22

-…+（2-n）×

1

2n-3

+（1-n）×

1

2n-2

，
∴

1

2

Tn=-

1

2-1

-1-

1

2

…-

1

2n-3

+（n-1）×

1

2n-2

=-

2(1- 1 2n-1 )

1- 1 2

+（n-1）×

1

2n-2

=-4+

n+1

2n-2

，
∴T_n=-8+

n+1

2n-3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的應(yīng)用、“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．