Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-3x
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）的零點(diǎn)；
（2）若x=3是f（x）的極值點(diǎn)，求f（x）的[1，a]上的最小值和最大值；
（3）若f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將函數(shù)整理為x（x-3）（x+1），令其為0，即可得到f（x）的零點(diǎn)；
（2）由于x=3是f（x）的極值點(diǎn)，得到f′（3）=0，得到a的值，進(jìn)而得到函數(shù)在區(qū)間[1，a]上的單調(diào)性，得到函數(shù)f（x）的[1，a]上的最小值和最大值；
（3）由于f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)≥0在區(qū)間上恒成立，即轉(zhuǎn)化為a≤

3

2

（x-

1

x

），亦即a≤（

3

2

（x-

1

x

））_最小值，進(jìn)而得到a的范圍．

解答：解：（1）f（x）=x³-2x²-3x=x（x-3）（x+1）
則f（x）的零點(diǎn)為0，3，-1．
（2）f′（x）=3x²-2ax-3
∵x=3是f（x）的極值點(diǎn)，得到f′（3）=0，
∴a=4   則函數(shù)f（x）=x³-4x²-3x
即f′（x）=3x²-8x-3=（3x+1）（x-3）
∴f（x）在[

1

3

，3]遞減，[3，+∞）遞增
f（1）=-6，f（3）=-18，f（4）=-12
∴最小值為-18，最大值為-6
（3）f′（x）=3x²-2ax-3≥0在[1，+∞）恒成立．
∵x≥1．∴a≤

3

2

（x-

1

x

），
當(dāng)x≥1時(shí)，由于g（x）=

3

2

（x-

1

x

）是增函數(shù)，g（x）_min=

3

2

（1-1）=0．
∴a≤0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與最值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是寫(xiě)出函數(shù)的極值和函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)處的值，把這些值進(jìn)行比較，得到最大值和最小值．