Question

如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分別是AB、PC的中點．
（Ⅰ）求平面PCD與平面ABCD所成二面角的大小；
（Ⅱ）求證：平面MND⊥平面PCD；
（Ⅲ）當(dāng)AB的長度變化時，求異面直線PC與AD所成角的取值范圍．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,平面與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件及幾何體的直觀圖可證得∠PDA是平面PCD與平面ABCD所成二面角的平面角，在Rt△PAD中，求出此角的值即可得到二面角的大小；
（Ⅱ）觀察圖形，取PD中點E，連接AE，EN，又M，N分別是AB，PC的中點可證得四邊形AMNE是平行四邊形，得出MN∥AE，再證明AE⊥平面PCD得到MN⊥平面PCD，即可證明平面MND⊥平面PCD；
（Ⅲ）求異面直線所成的角得先作角，由圖形及題設(shè)條件知∠PCB為異面直線PC，AD所成的角，在三角形PCB中解此角即可

解答： （Ⅰ）解：PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴PD⊥CD．
故∠PDA是平面PCD與平面ABCD所成二面角的平面角．
在Rt△PAD中，PA⊥AD，PA=AD，∴∠PDA=45°．…（3分）
（Ⅱ）證明：如圖，取PD中點E，連接AE，EN，又M，N分別是AB，PC的中點，
∴EN∥

1

2

CD∥

1

2

AB，
∴AMNE是平行四邊形，
∴MN∥AE．
在等腰Rt△PAD中，AE是斜邊的中線，∴AE⊥PD．
由PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，可推出CD⊥PD
又CD⊥AD，AD∩PD=D
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE，
又PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD，
∴MN⊥平面PCD，
∵MN?平面MND，
∴平面MND⊥平面PCD…（7分）
（Ⅲ）解：∵AD∥BC，∴∠PCB為異面直線PC，AD所成的角．
由三垂線定理知PB⊥BC，設(shè)AB=x（x＞0）．
∴tan∠PCB=

1+( x a )2

．
又∵

x

a

∈（0，+∞），∴tan∠PCB∈（1，+∞）．
又∠PCB為銳角，∴∠PCB∈（

π

4

，

π

2

），
即異面直線PC，AD所成的角的范圍為（

π

4

，

π

2

）．…（12分）

點評：本題考查與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二面角的求法，其步驟一般分為三步，作角，證角，求角，其中第二步證角易被忽略導(dǎo)致失分，解題時要注意解題的驟，本題中第二小問證明面面垂直，要注意正確使用判定定理，第三問中求異面直線所成的角，其作法也是要先作角，證角，求角，幾何中求角的題其做題步驟基本上都分為此三步，做題后注意總結(jié)一下這個規(guī)律