Question

已知動點M到點A（2，0）的距離是它到點B（8，0）的距離的一半；直線l的方程為y-1=k（x+1）．
（1）求M的軌跡方程；
（2）判斷l(xiāng)與M的軌跡的位置關(guān)系，若相交求出最短的弦長；
（3）設(shè)l與M的軌跡相交于A、B兩點，是否存在k使得OA⊥OB？若存在求出k；若不存在，請給予證明．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線與圓的位置關(guān)系

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）利用動點M到點A（2，0）的距離是它到點B（8，0）的距離的一半，建立方程，化簡即可求M的軌跡方程；
（2）直線過圓內(nèi)的點B（-1，1），故相交，求出|OB|，即可求出最短的弦長；
（3）若OA⊥OB，則圓心到直線的距離為2

2

，建立方程可得結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)動點M（x，y）為軌跡上任意一點，則點M的軌跡就是集合
P={M||MA|=

1

2

|MB|}．
由兩點距離公式，點M適合的條件可表示為 

(x-2)2+y2

=

1

2

(x-8)2+y2

，
平方后再整理，得 x²+y²=16．  可以驗證，這就是動點M的軌跡方程．
（2）直線過圓內(nèi)的點B（-1，1），故相交；
∵OB=

2

，r=4，∴最短弦長，2

16-2

=2

14

．
（3）若OA⊥OB，則圓心到直線的距離為2

2

，
∴

|k+1|

k2+1

=2

2

，
∴7k²-2k+7=0，
方程無解，∴不存在

點評：本題考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．