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如圖,在多面體ABCDEF中,底面ABCD是梯形,且AD=DC=CB=AB.直角梯形ACEF中,,是銳角,且平面ACEF⊥平面ABCD.

(1)求證:;
(2)若直線DE與平面ACEF所成的角的正切值是,試求的余弦值.

(1)詳見試題解析;(2)

解析試題分析:(1)證明線線垂直,可轉化為證明線面垂直.要證,只要證平面,由已知平面ACEF⊥平面ABCD,故由面面垂直的性質定理知,只要證.在等腰梯形ABCD中,由已知條件及平面幾何相關知識易得;(2)連結,再連結EM,FM,易知四邊形為菱形,∴DM⊥AC,注意到平面平面,故DM⊥平面.于是,即為直線DE與平面ACEF所成的角.在中由銳角三角函數可求得的長,再在中由銳角三角函數即可求得的余弦值.
試題解析:(1)證明:在等腰梯形ABCD中,∵AD=DC=CB=AB,∴AD、BC為腰,取AB得中點H,連CH,易知,四邊形ADCH為菱形,則CH=AH=BH,故△ACB為直角三角形,.              3分
平面平面,且平面平面,平面,而平面,故.                               6分
(2)連結,再連結EM,FM,易知四邊形為菱形,∴DM⊥AC,注意到平面平面,故DM⊥平面.于是,即為直線DE與平面ACEF所成的角.                                          9分

設AD=DC=BC=,則MD=,.依題意,,,在中,,∵=AM,四邊形AMEF為平行四邊形,,,.                 12分
考點:1.空間垂直關系的證明;2.空間角的計算.

練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

如圖五面體中,四邊形ABCD是矩形,DA⊥平面ABEF,AB∥EF,AB=EF=2,AF=BE=2,P、Q、M分別為AE、BD、EF的中點.

(1)求證:PQ∥平面BCE;
(2)求證:AM⊥平面ADF.

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知:a、b、c、d是不共點且兩兩相交的四條直線,求證:a、b、c、d共面

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,M,N分別是B1C1,A1D1,A1B1,BD,B1C的中點,

求證:(1)MN∥平面CDD1C1.
(2)平面EBD∥平面FGA.

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

如圖1,在直角梯形ABCD中,ADBC,∠ADC=90°,BABC.把△BAC沿AC折起到△PAC的位置,使得點P在平面ADC上的正投影O恰好落在線段AC上,如圖2所示.點E、F分別為棱PC,CD的中點.
 
(1)求證:平面OEF∥平面APD
(2)求證:CD⊥平面POF;
(3)在棱PC上是否存在一點M,使得MPO,C,F四點距離相等?請說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

如圖,四邊形ABCD是矩形,平面ABCD⊥平面BCE,BE⊥EC.

(1)求證:平面AEC⊥平面ABE;
(2)點F在BE上.若DE∥平面ACF,求的值.

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的側棱AA1⊥平面ABC,△ABC為正三角形,側面AA1C1C是正方形, E是的中點,F是棱CC1上的點.

(1)當時,求正方形AA1C1C的邊長;
(2)當A1F+FB最小時,求證:AE⊥平面A1FB.

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知在四棱錐PABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2,AB=1,PA⊥平面ABCD,E、F分別是線段ABBC的中點.

(1)證明:PFFD;
(2)判斷并說明PA上是否存在點G,使得EG∥平面PFD;
(3)若PB與平面ABCD所成的角為45°,求二面角APDF的余弦值.

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側面底面,且△PAD為等腰直角三角形,,E、F分別為PC、BD的中點.

(1)求證:EF//平面PAD;
(2)求證:平面平面 .

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