Question

對(duì)于任意正整數(shù)n，定義n得雙階乘“n!!”如下：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，n!!=n（n-2）（n-4）…6•4•2；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n!!=n（n-2）（n-4）…5•3•1，現(xiàn)有以下四個(gè)命題：
①（2011!!）（2010!!）=2011!
②2010!!=2¹⁰⁰⁵•1005!
③2010!!的個(gè)位數(shù)是0 
④2011!!的個(gè)位數(shù)是5．
其中正確的命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1個(gè)
B．2個(gè)
C．3個(gè)
D．4個(gè)

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，依次分析四個(gè)命題可得：對(duì)于①，將（2011!!）（2010!!）依據(jù)定義展開可得（2011!!）（2010!!）=（1•3•5•7…2009•2011）•（2•4•6•8…2008•2010），進(jìn)而可等于1•2•3•4•5…2008•2009•2010•2011=2011!，故正確；對(duì)于②，2010!!=2•4•6•8•10…2008•2010，可以將其變形為2¹⁰⁰⁵（1•2•3•4…1005）=2¹⁰⁰⁵•1005!，故正確；對(duì)于③，根據(jù)雙階乘的定義，2010!!=2•4•6•8…2008•2010，其中含有10，故個(gè)位數(shù)字為0，則正確；對(duì)于④，2011!!=2011×2009×2007×…×3×1，分析易得其中連續(xù)5項(xiàng)乘積的個(gè)位數(shù)字為5，則2011!!的個(gè)位數(shù)字與1×3×5×7×9的個(gè)位數(shù)字相同，故其個(gè)位為5，則正確；綜合可得答案．
解答：解：根據(jù)題意，依次分析四個(gè)命題可得：
對(duì)于1①，（2011!!）（2010!!）=（1•3•5•7…2009•2011）•（2•4•6•8…2008•2010）=1•2•3•4•5…2008•2009•2010•2011=2011!，故①正確；
對(duì)于②，2010!!=2•4•6•8•10…2008•2010=2¹⁰⁰⁵（1•2•3•4…1005）=2¹⁰⁰⁵•1005!，故②正確；
對(duì)于③，2010!!=2•4•6•8…2008•2010，其中含有10，故個(gè)位數(shù)字為0，則③正確；
對(duì)于④，2011!!=2011×2009×2007×…×3×1，其個(gè)位數(shù)字與1×3×5×7×9的個(gè)位數(shù)字相同，故其個(gè)位數(shù)字為5，則④正確；
四個(gè)命題都正確；
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義型問題的求解思路與方法，理解透徹新定義的含義是關(guān)鍵．