Question

1．已知函數(shù)f（x）=|x-2a|+|x+$\frac{1}{a}$|
（1）當a=1時，求不等式f（x）＞4的解集；
（2）若不等式f（x）≥m²-m+2$\sqrt{2}$對任意實數(shù)x及a恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=1時，分類討論，求不等式f（x）＞4的解集；
（2）f（x）=|x-2a|+|x+$\frac{1}{a}$|≥|2a+$\frac{1}{a}$|=|2a|+|$\frac{1}{a}$|$≥2\sqrt{2}$，利用不等式f（x）≥m²-m+2$\sqrt{2}$對任意實數(shù)x及a恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）當a=1時，不等式f（x）＞4為|x-2|+|x+1|＞4．
x＜-1時，不等式可化為-（x-2）-（x+1）＞4，解得x＜-$\frac{3}{2}$，∴x＜-$\frac{3}{2}$；
-1≤x≤2時，不等式可化為-（x-2）+（x+1）＞4，不成立；
x＞2時，不等式可化為（x-2）+（x+1）＞4，解得x＞$\frac{5}{2}$，∴x＞$\frac{5}{2}$；
綜上所述，不等式的解集為{x|x＜-$\frac{3}{2}$或x＞$\frac{5}{2}$}；
（2）f（x）=|x-2a|+|x+$\frac{1}{a}$|≥|2a+$\frac{1}{a}$|=|2a|+|$\frac{1}{a}$|$≥2\sqrt{2}$，
不等式f（x）≥m²-m+2$\sqrt{2}$對任意實數(shù)x及a恒成立，∴2$\sqrt{2}≥$m²-m+2$\sqrt{2}$，
∴0≤m≤1．

點評 本題主要考查絕對值的意義，帶由絕對值的函數(shù)，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．