Question

已知函數(shù)f(x)=

x2-a(a+2)x

x+1

（a≥0）．
（I）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在點(diǎn)（3，f（3））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[0，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，再利用點(diǎn)斜式即可求出切線的方程；
（Ⅱ）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)對(duì)a分類討論得出其單調(diào)性，進(jìn)而即可求出其最小值．

解答：解：（I） 當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=

x2-3x

x+1

，∴f′(x)=

x2+2x-3

(x+1)2

，f（3）=0，
∴f（x）在點(diǎn)（3，f（3））處的切線的斜率f^′（3）=

3

4

，切點(diǎn)（3，0），
因此其切線方程為y=

3

4

(x-3)，即3x-4y-9=0．
（ II）x≠-1，f′(x)=

x2+2x-a(a+2)

(x+1)2

=

[x+(a+2)](x-a)

(x+1)2

，
①當(dāng)a=0時(shí)，在（0，2]上導(dǎo)函數(shù)f′(x)=

x2+2x

(x+1)2

＞0，所以f（x）在[0，2]上遞增，可得f（x）的最小值為f（0）=0；
②當(dāng)0＜a＜2時(shí)，導(dǎo)函數(shù)f'（x）的符號(hào)如下表所示

x	[0，a）	a	（a，2]
f'（x）	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

所以f（x）的最小值為f(a)=

a2-a2(a+2)

a+1

=-a2；
③當(dāng)a≥2時(shí)，在[0，2）上導(dǎo)函數(shù)f'（x）＜0，∴f（x）在[0，2]上遞減，
∴f（x）的最小值為f(2)=

4-2a(a+2)

3

=-

2

3

a2-

4

3

a+

4

3

．
綜上可知：①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）的最小值為f（0）=0；
②當(dāng)0＜a＜2時(shí)，f（x）的最小值為f（a）=-a²；
③當(dāng)a≥2時(shí)，f（x）的最小值為f（2）=-

2

3

a2-

4

3

a+

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值的方法及其幾何意義、分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．