Question

已知單調遞增的等比數列{a_n}滿足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（II）設的前n項和S_n．

Answer 1

解：（I）設等比數列{a_n}的首項為a₁，公比為q
∵a₃+2是a₂，a₄的等差中項
∴2（a₃+2）=a₂+a₄
代入a₂+a₃+a₄=28，得a₃=8
∴a₂+a₄=20
∴
∴或
∵數列{a_n}單調遞增
∴a_n=2ⁿ
（II）∵a_n=2ⁿ
∴b_n==-n•2ⁿ
∴-s_n=1×2+2×2²+…+n×2ⁿ ①
∴-2s_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n2ⁿ⁺¹ ②
∴①-②得，
s_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺¹-2
分析：（I）根據a₃+2是a₂，a₄的等差中項和a₂+a₃+a₄=28，求出a₃、a₂+a₄的值，進而得出首項和a₁，即可求得通項公式；
（II）先求出數列{b_n}的通項公式，然后求出-S_n-（-2S_n），即可求得的前n項和S_n．
點評：本題考查了等比數列的通項公式以及數列的前n項和，對于等差數列與等比數列乘積形式的數列，求前n項和一般采取錯位相減的辦法．