Question

4．已知f（x）=e^x，g（x）=-x²+2x+a，a∈R．
（Ⅰ）討論函數(shù)h（x）=f（x）g（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）記φ（x）=$\left\{\begin{array}{l}f（x），x＜0\\ g（x），x＞0\end{array}$，設(shè)A（x₁，φ（x₁）），B（x₂，φ（x₂））為函數(shù)φ（x）圖象上的兩點，且x₁＜x₂．
（�。┊�(dāng)x＞0時，若φ（x）在A，B處的切線相互垂直，求證x₂-x₁≥1；
（ⅱ）若在點A，B處的切線重合，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；
（Ⅱ）（i）法一：求出x₂-x₁的解析式，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)判斷即可；法二：用x₁表示x₂，根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷即可；
（ii）求出A、B的坐標(biāo)，分別求出曲線在A、B的切線方程，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）h（x）=e^x（-x²+2x+a），則h′（x）=-e^x[x²-（a+2）]（2分）
當(dāng)a+2≤0即a≤-2時，h′（x）≤0，h（x）在R上單調(diào)遞減；（3分）
當(dāng)a+2＞0即a＞-2時，h′（x）=-e^x[x²-（a+2）]=-e^x（x+$\sqrt{a+2}$）（x-$\sqrt{a+2}$），
此時h（x）在（-∞，-$\sqrt{a+2}$）和（$\sqrt{a+2}$，+∞）上都是單調(diào)遞減的，
在（-$\sqrt{a+2}$，$\sqrt{a+2}$） 上是單調(diào)遞增的；（5分）
（Ⅱ）（�。ゞ′（x）=-2x+2，據(jù)題意有（-2x₁+2）（-2x₂+2）=-1，又0＜x₁＜x₂，
則-2x₁+2＞0且-2x₂+2＜0，⇒（-2x₁+2）（2x₂-2）=1，
法1：x₂-x₁=$\frac{1}{2}$[（-2x₁+2）+（2x₂-2）]≥$\sqrt{（-2x1+2）•（2x2-2）}$=1
當(dāng)且僅當(dāng)（-2x₁+2）=（2x₂-2）=1即x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=$\frac{3}{2}$時取等號（8分）
法2：x₂=1+$\frac{1}{4（1-x1）}$，0＜1-x₁＜1⇒x₂-x₁=1-x₁+$\frac{1}{4（1-x1）}$≥2$\sqrt{（1{-x}_{1}）\frac{1}{4（1{-x}_{1}）}}$=1
當(dāng)且僅當(dāng)1-x₁=$\frac{1}{4（1-x1）}$⇒x₁=$\frac{1}{2}$時取等號（8分）
（ⅱ）要在點A，B處的切線重合，首先需在點A，B處的切線的斜率相等，
而x＜0時，φ′（x）=f′（x）=e^x∈（0，1），則必有x₁＜0＜x₂＜1，
即A（x₁，ex₁），B（x₂，-${{x}_{2}}^{2}$+2x₂+a）
A處的切線方程是：y-ex₁=ex₁（x-x₁）⇒y=ex₁x+ex₁（1-x₁），
B處的切線方程是：y-（-${{x}_{2}}^{2}$+2x₂+a）=（-2x₂+2）（x-x₂）
即y=（-2x₂+2）x+${{x}_{2}}^{2}$+a，（10分）
據(jù)題意則$\left\{\begin{array}{l}{{ex}_{1}=-{2x}_{2}+2}\\{{ex}_{1}（1{-x}_{1}）{{=x}_{2}}^{2}+a}\end{array}\right.$⇒4a+4=-ex₁（ex₁+4x₁-8），x₁∈（-∞，0）
設(shè)p（x）=-e^x（e^x+4x-8），x＜0，p′（x）=-2e^x（e^x+2x-2）
設(shè)q（x）=e^x+2x-2，x＜0⇒q′（x）=e^x+2＞0在（-∞，0）上恒成立，
則q（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增⇒q（x）＜q（0）=-1＜0，
則p′（x）=-2e^x（e^x+2x-2）＞0，⇒p（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，
則p（x）＜p（0）=7，再設(shè)r（x）=e^x+4x-8，x＜0
r′（x）=e^x+4＞0，⇒r（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，⇒r（x）＜r（0）=-7＜0
則p（x）=-e^x（e^x+4x-8）＞0在（-∞，0）恒成立
即當(dāng)x∈（-∞，0）時p（x）的值域是（0，7）
故4a+4∈（0，7）⇒-1＜a＜$\frac{3}{4}$，即為所求．（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及切線方程問題，考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．